“我数学就是很烂，救不了。”害怕数学的你，不妨试试“大脑喜欢这样学”这本书里的学习方式。
该书作者Barbara Oakley现在是美国奥克兰大学的工业系统工程学教授，但她从小到大数学都不好，数理科目总是不及格，讨厌数学。进入职场后，她发现如果数理不好，很难去培养相关的技能来解决问题，自己会大大受限。所以她决定重新训练自己的头脑，并逐渐掌握了学习数学的方法，所以写了这本书来分享数学的学习方法。
书中提到，人的大脑在神经学专家的研究下，发现有两种思考方式：“专注式思考”和“发散式思考”。“专注式思考”就是大脑用理性分析的方式来尝试解决问题，你在解数学难题时便是用这种模式；“发散式思考”在你不是专注思考模式时，没有刻意在想某件事，在放空、发呆时，大脑便是处于发散式思考模式。
不知道你有没有一种经验，有时在做很难的数学题，或是思考生活中复杂的问题该怎么处理，在当下一直想不到解法，结果就在散步、洗澡、吃饭时脑中突然灵光一闪，想到了刚刚想了很久都想不到的解法或关键点。科学家研究发现，当你在放空、发呆休息时，大脑并没有停止思考，而是处于发散思考模式，并仍然在持续对问题做思考的连结。
升学顾问机构Candice根据书中的知识和自己的教学经验，归纳出下面几点，希望能帮助学子在准备SAT、ACT等标准化考试时，对数学科目做更有效的学习。
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1、专注和放松模式交替
也就是说，如果平时练习数学题想了一阵子想不出来，那就先不理这题，甚至直接休息放空也可，让大脑从专注思考模式切换成发散模式，当你一直在专注模式时，很可能会犯了见树不见林的错误，只能看到题目中的一小部分，然后卡在那，无法从更全面整体的角度来尝试解题，当你放松自己做其他事，这题目如何解决仍在你脑中持续留存，虽然你自己并不会注意到，但大脑会尝试对不同的记忆区块做连结，之后如果突然想到怎么解了，这便是真的学懂了这题型，而且会记得特别牢，不容易忘掉。
2、多利用回想来学习
有学生练习数学题的方式是用看的，他把数学题目的解题步骤用看的，只要自己有看懂步骤，便认为自己会了，这其实是很不推荐的学习方式，建议练习数学题时，应该是做完一部分题目后，要复习时不要去看，尝试在脑中回想刚刚的题目和解法，看自己是否能清楚地回想，然后再动手计算过一次，都没问题，才能说真的会了。
3、不要过度刷题
不要重复一直刷考古题，有的学生喜欢刷题，因为那有一种掌控感，反复做自己已经会的题目，让自己很有成就感。但只能说，这样对真正实力的进步收效甚微，应该是做完一份考古题后，将自己错哪题，为什么错，该如何正确解，记录下来，反复检讨，虽然很辛苦。
4、切割目标
人很难对较远的大目标做出好的规划，所以将大目标切成小目标，安排进自己的行程表中，这才会是有办法好好完成进度表的技巧。
5、考试前一天让自己放松
还记得专注式思考和发散式思考吗？到考前一天，不要再很认真专注的做题目，稍微让自己放松一下，看看自己的笔记，做一些经典题维持手感即可，其馀时间做一些自己喜欢的休闲活动，让自己的大脑处于发散模式，统整过去几个月的记忆区块，好好为了第二天的正式上场做准备。
6、考试时先把题目全部浏览一次
考试的题目有难也有简单的，你先全部看过一遍题型稍微想一下待会大概怎么解，比较难的题目会先留存在你脑中，虽然你写得是别的较简单的题目，但等你回来做难题时，有可能大脑已经把这题所需的记忆区块连结起来了。
从小对数学感到害怕或是想突破数学分数的你，可以从现在开始尝试练习这几个技巧，其实这不是只能用在数学上；专注式思考和发散式思考切换，也十分适合用在创造性的问题。
讲座时间：本周日 8/20 美西时间下午五点/美东时间晚上八点
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讲座语言：英文
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北美家长的数学焦虑：“发现式数学”正在毁掉孩子的未来
一个风和日丽的春日下午，在我女儿就读的加拿大的一所著名私校，布置优雅的小会议室里，正在举行数学课程的家长说明会，起因是家长强烈抗议数学课所谓的创新的计算方法。
空气中有一股剑拔弩张的味道，平时开会多是妈妈们参加，今天则绝大部分是西装革履的爸爸们，还有脸色凝重的副校长坐在最后面压阵。
教学主管略显紧张地开了个头：“我知道，你们的孩子对数学没有信心，家长们也很担忧……”
“对不起！”一位爸爸举起手说：“请你不要说孩子们对数学没有信心，这会严重影响我孩子的自信，他从来没有表现出对数学没有信心，我也从来没有这样说过他。我现在担心的是，学校的数学教育会不会让他没有信心。”
教学主管有点尴尬，赶紧打开PPT开始讲解，他列出了这样一个题：关于248中减去29的方法。
上面上图是使用传统用竖式借位减法。下图是“发现式数学”提倡的创新思维解法，采用容易计算的数字一直计算到248，然后将这些数字加起来得出最终答案。
还没等教学主管讲完，会议室里已经炸开了锅。
一位爸爸大声地说：“为什么不能按照传统的算术标准来计算？一个步骤就可以解决的简单减法要搞得那么复杂吗？这种莫名其妙的计算方法，我们谁都不会，更别说小孩子了。”
“是啊，是啊。”座中另外一位爸爸也接着说道：“上个周末我家开派对，一半的客人都是毕业于常春藤大学的电脑工程师，但是，没有人会做我那三年级女儿的数学作业，这事儿实在是太荒唐了！”
教学主管说：“你们先别着急，我今天的讲座就是要教会你们，然后你们就可以辅导孩子了。”
另一位爸爸站起来生气地说：“我们为什么要学你这种可笑的解题方法？我不会你的解题方法，也没耽误我在多伦多大学，做那么多年的数学教授啊！”……
整整三个小时的说明会，愤怒的家长们没有给教学主管讲下去的机会，家长们的质疑和指责让教学主管狼狈不堪，副校长几次起来阻止都无济于事。最后，闻讯赶来的校长结束了这场“数学战争”。
这是几十年来，北美家长和学校以及教育部门之间，频繁爆发的“数学战争”的一个缩影。
和中国的”传统数学”教育方式不同，受杜威的进步教育主义理论影响，北美采用“发现式数学”（discovering math），主张培养学生的探索知识、解决问题的能力，强调的是思维开发和创新。
但是，北美父母则认为应该向中国等亚洲国家学习，回归“传统数学”教育。在上个世纪九十年代，美国各地爆发过很多家长的抗议活动。家长们联名请愿，或竞选学区委员会席位，甚至还成立许多组织来抵制“发现式数学”。
自2013年起，加拿大安大略省、艾伯塔省和不列颠哥伦比亚省的家长们不断向各省教育厅请愿，指出‘发现式数学’的危害，要求政府修改课程设置，将更多的重点放在基本数学技能上，而不是在发现或创新策略上。
对国内的父母来说，大家担心的是：“传统数学”教育的刷题和死记硬背，往往导致学生缺少创造力和创新能力。而美国数学教学的形式多样，寓教于乐，生动有趣，也在吸引众多的数学教育工作者和家长们。
为什么北美的父母对注重思维创新的“发现式数学”如此反感呢？不仅如此，在北美的历次“数学战争”中，数学家们也是和家长站在一起，呼吁改革数学教育，极力主张采用“传统数学”。难道注重培养数学思维不对吗？
要了解这一切，首先得从什么是“发现式数学”开始。
“发现式数学”如何开发数学思维？
杜威(John Dewey)进步教育，主张遵循儿童的天然意愿、通过儿童自我探索（self-inquiry）的方式来学习。
所以，“发现式数学”的教学方式是以学生为中心，通过思维开发和解决问题（problem solving）能力训练，达到培养学生的创新思维的目标。
跟“传统数学”以老师讲解为主不同，“发现式数学”的老师在课堂上讲得少，以学生自己思考和探索为主。
“小组讨论”（group learning）和“团队合作”(teamwork)是常用的学习方式，3-5个学生围成一桌，由老师提出问题，孩子们通过查阅资料，相互讨论和合作找到解决方案，最后由老师总结。这种方式既培养了独立思考、解决问题的能力，又培养了合作精神。
还有项目式学习（Project-based Learning），女儿做过一个装修房子的数学题，由五个小朋友共同完成。3000元的预算，老师给出了房间的宽度和长度，并要求买一张床、一个书桌和椅子等若干家具。
虽然只涉及到简单的加减乘除，但是，很考验解决问题的能力。从日常生活中认知数学概念和原理，有利于学生对知识的理解深度和运用能力。
“传统数学”要求学生通过枯燥的练习来熟悉和掌握公式、原理和法则；“发现式数学”不主张背诵乘法表和大量重复练习，认为这种死记硬背的方式不仅不利于理解数学概念，还会伤害孩子的创造性。
女儿学校的数学回家作业是不多的，跟中国的题海战术简直是天壤之别。
“发现式数学”认为，重要的是理解数学概念、公式和法则背后的逻辑关系，而不是简单地记住数学知识。所以，老师尽可能不去教授公式或者标准解题方法，而是鼓励学生自己去推理公式、发现概念和找到解题的办法。
就小学算术来说，“发现式数学”认为小学生们不应使用传统的加、减、乘、除的计算方法，而是采用创新的计算方式，甚至自己发明一些新的方法，这样更有利于开发学生的创新思维。
所以，学生们常常以图示法、估算法来代替标准的计算方法。
例如5+2，小朋友不会直接给出结果是7，而是会画冰淇凌、格子、鲜花、各种小动物…… 这种方式直观又生动，可以帮助孩子理解数字的概念以及加法背后的真正含义，而不像是国内的死做题。
例如3×5，正确做法不是通过乘法口诀直接获得15，而是通过3+3+3+3+3或者5+5+5的方式，目的在于理解乘法运算背后所包含的逻辑关系，数字的构成规则，从而能够灵活运用数字。
对较大数字的乘法，通过分解成小题目完成。例如25×44，可以通过将44分为4组（每组11个）和100组（11个）来找到答案1100。
“发现式数学”主张一题多解，来培养学生思维的广阔性和灵活。例如15 x 12，会要求学生通过以下五种不同方式解决问题：
“发现式数学”通过让学生不断自我发现、自我探索和不断创新，加深对隐藏在数字后面的概念的理解，而不是对算术法则的死记硬背和大量练习。
再看看下面这道题，北美孩子的数学其实一点也不简单。
这是要求学习2位数字加法的学生玩“如何接近100？”的游戏，目的是“练习”他们对加法的理解。
在这个游戏中，孩子们被要求通过不同的方式来使用数字，例如10个骰子为一组和单个的骰子，同时还可以尝试不同的组合策略。
和“传统数学”的老师直接教授和学生刻板练习相比，“发现式数学”让数学的学习过程不再无聊，而是充满了思维创新的刺激和挑战，甚至变得很有趣。
虽然教学进度慢，学的内容也少，但是在我看来，花了那么多时间培养孩子的数学思维和逻辑思维，一旦孩子的批判性思维、创造性思维和解决问题能力建立起来了，日后一定会产生厚积薄发的效应。
这就是为什么，美国在高科技领域傲视群雄的原因吧。
“发现式数学”的致命缺陷是什么？
一位女儿同学的家长曾经提醒我，千万不要被五花八门的创新思维开发给迷惑了，加拿大学校的数学课学不到什么东西的，学生的基本知识和基本技能很差，想要学好数学，最好去报个课外班。
我当时没太在意，因为我觉得数学思维才是数学的核心能力。但是，随着女儿年级的提高，加拿大学生数学基础之差，不仅超过了我的想象力，也超过了我的承受范围。
女儿小学一年级才学会如何数到一百，三年级一位数的乘法就可以把她难倒。五年级的时候，10以内个位数的乘法和除法还有问题，我开始担忧了。
六年级的时候，国内小学生已经加减乘除、分数运算滚瓜烂熟了。女儿只学会15以内的加减乘除，在班上已经属于数学很好的孩子了。班上大部分孩子单个数的乘法和除法有问题，看到分数更是胆战心惊。
如果小学生无法构建起基本的乘除法、分数小数、比例和百分比等基础算术技能，恐怕无法适应中学的代数和几何学习，更别提什么创新思维和创造力了。
我不由得倒吸一口冷气，再看看那些统计数据，更让我大惊失色。
加拿大2017年安大略省标准化考试结果显示，只有50%的6年级学生达到省数学标准。
美国的情况也好不到哪儿去，2017年全国教育进步评估：只有33%的初二学生符合年级水平。30%以上的美国理工类大学生必须重新补习中学数学知识，50%学生最终因为数学不行而转专业。
更让人忧心忡忡的是，随着数学在各行各业的重要性日益凸显，北美学生的数学之差已经直接影响到未来职业前景，可以说，数学不好的学生未来人生前景黯淡。
美国劳工统计局指出：2016年到2026年，从事数学有关职业的就业人数将增长28%。
但是，美国的Business Round table调查发现，3/4的CEO认为找不到合格员工。美国80%的中等技术工种（相当于大专）需要更好的数学和计算机技能，大部分职位处于空缺状态。
加拿大的情况也非常类似。
为什么看上去如此完美的“发现式数学”，会是这样一种结果？
按照美国数学家的解释是：“发现式数学”在思维开发和解决问题能力上确实有明显优势，非常适合培养天才学生，这也就是为什么美国可以出现那么多数学牛人和科技大咖的原因。但是却毁掉了普通孩子的数学能力。
因为“发现式数学”有一个致命的缺陷：过于强调教思维训练而忽视数学的内容，导致学生缺乏系统性的数学知识和基本技能，从而也使得创新性的教学方法无法达到应有的效果。
例如就小学阶段来说，“发现式数学”最大的问题是，大大削弱了算术这块内容。
算术中包含着丰富的逻辑推理，有了良好的算术基础，对于培养学生的分析与创造性思维是极其有益的。
对普通学生们来说，只有通过记忆和反复练习来掌握算术基本技能后，才能培养更复杂的逻辑思考能力，否则根本谈不上创新。
而且“发现式数学”提倡用替代性的方式来取代标准计算方法，名义上是创新和探索，这些方法实质上既慢且笨，纯属画蛇添足；常常由于过于复杂和令人费解，让大部分学生莫衷一是，最后哪种方法也掌握不了。
1999年全美220名著名教授发表公开信，要求保持传统数学的标准计算方法，从而引发美国历史上著名的“数学战争”。
但由于“发现式数学”根基深难撼动，在强大的进步教育家面前，数学家们不免势单力薄，最终在“数学战争”中败下阵来。
更糟糕的是，自从2010年美国颁布《州共同核心数学标准》，北美的数学教育不仅没有回归“传统数学”，反而在所谓的创新道路上越来越远，小学的计算方法越来越难懂，即使是从数学相关领域毕业的父母也无法辅导作业。
这也就是为何会发生本文开头我女儿学校家长强烈抗议的故事。家长们由于无法辅导孩子的简单的算术而深陷焦虑，看看推特上美国家长的吐槽：
“当我检查孩子数学作业时，我总是这样鼓励和安慰自己：“你是一个坚强，能干和聪明的女人”。
“又要辅导我家五年级孩子的功课了，简直像来到了地狱。”
“我孩子的数学作业是我做的，可是他得了零分。”
“如果有人问我家孩子，是否见过他们的爸爸哭过，我的孩子一定会告诉他们，那是在爸爸辅导数学功课的时候。”
“我儿子喜欢在我送他上学的路上做功课，他以为我可以帮助他。可是我不行啊。”
“我这人啥都不怕，就怕我家那个三年级的孩子让我辅导数学功课。”
未来社会不仅需要大批的尖端数学人才，普通劳动力的数学素质也成为关键因素，数学已经成为每个人立足于社会的核心生存能力。
而“发现式数学”，却连基本的数学知识都未能教给学生，北美家长的抗议会继续，围绕“传统数学”和“发现式数学”的“数学战争”将会旷日持久。
“发现式数学”将何去何从？
女儿六年级下学期的时候，我终于按耐不住内心的焦虑，把她送到一家华人办的数学学校补习。很庆幸这个决定拯救了我女儿的数学，没有让她成为“发现式数学”的牺牲品。
加拿大华人开设的数学学校，采用的是“发现式数学”和“传统数学”相结合的模式。短短几个月，女儿的数学突飞猛进，小学算术运算很快过关，原来学得模模糊糊的那些概念也清晰起来。
和女儿学校不主张大量的课后练习不同，数学学校认为应当刷题，但刷题的目的是为了锻炼思考能力，而不是死记硬背。
每星期一次课，作业大概有十道题，除了几道基本题比较容易之外，其他的题目都有一定难度。这些题都是精心设计的，涵盖大量的知识点。
孩子在做的过程中，思考层层递进，像爬山一样，每步之间都是思维运动的自然进步，每做完一道题的过程，就是一个大量思考的过程，相当于做了几十道普通题。
数学学校校长跟我说，“发现式数学”鼓励学生自己探索知识，独立思考和创新，在数学思维开发上确实有很大的优势。
相比之下，“传统数学”倾向于老师的直接灌输，对学生的启发不够，尤其是题海战术确实伤害了学生的创新性思维。
数学学校有一些国内受过教育的孩子，这些孩子数学成绩整体上超过本土的孩子一大截。但是他们的短板也非常明显，遇到新知识和新问题，往往束手无策，而且不会举一反三，总是习惯性地等待老师来教。
原因就在于：他们习惯用刷题来熟悉和掌握知识，这种死记硬背的方法没有培养学生的逻辑思维和抽象思维，所谓的优势并不能持续很久，等到遇到更多更高级更难的数学知识，会因为数学思维跟不上而感到吃力。
按照数学学校校长的说法，最理想的数学教育就是“发现式数学”和“传统数学”相结合的模式。
一个有力的证明就是，加拿大数学学校最拔尖的、能拿数学大奖的基本都是本土长大的孩子，他们通过“传统数学”熟练掌握算术和概念，通过“发现式数学”会锻炼逻辑思维能力，创造性地运用数学知识解决问题。
北美奥数国家队成员基本都是本土长大的华裔，就是这个原因。
事实上，北美数学好的孩子除了参加课外补习学校外，还可以去考一些公立教育系统的精英教育项目，例如加拿大的天才班、IB、Tops和MacS等，而这些特殊教育项目，也都是采取了“传统数学”和“发现式数学”融合的模式。
北美的数学家们也在讨论“传统数学”和“发现式数学”如何相融合，他们讨论了两种模式分别应当什么阶段实施？或者两者在学校的教育中，各自应当占多大的比例。
目前一个比较普遍的观点是：
小学阶段还是以“传统数学”为主，学生应该通过记忆和练习来获得基本的知识和技能；
从小学高年级开始更注重思维开发，逐渐转向“发现式数学”。
约翰霍普金斯大学数学系教授W. Stephen Wilson这样说：“人们以为能够在小学的数学课堂里教会学生创造性。忘掉创造性吧，只要能对直白的问题给出直截了当的解答就可以了。”
温尼伯大学教授Anna Stokke认为，小学应当优先考虑“传统数学”，有了扎实的基础知识后，当中学数学变得更加抽象时，学生们就不会再迷失。
Anna教授在2015 年提出了具体建议：
将80%的教学时间用于“传统数学”，如背诵九九乘法表和做传统的加减乘除；
20%的教学时间用来进行“发现式数学”，例如使用图示法和创新的解题方法。
目前，加拿大小学数学已出现向“传统数学“回归的现象。
阿尔伯塔省的小学生开始背九九乘法表；
曼尼托巴省开始向学生教授加减乘除的标准计算方法；
安大略省从去年开始重新推出传统的数学教学方法，如背诵九九乘法表和加减乘除法等。
可以预见，两种模式的融合应当是未来北美数学教育的方向。
对渴望在数学思维开发上有所突破和创新的中国来说，应当坚持传统的“基本知识和基本技能”优势基础上，引进和借鉴“发现式数学”的教学方式。
千万不要抛弃基础教育阶段的现有优势，全盘追随“发现式数学”，以免重蹈北美数学教育失败的覆辙。
参考资料：
2. 《伍鸿熙：看着一群人正在败坏数学，使我很愤怒——谈美国中小学数学教育》
